Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0），半焦距為c（c＞0），且滿足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i為虛數(shù)單位），經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F（-c，0），斜率為k₁（k₁≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)k1=1時(shí)，求S_△AOB的值；
（3）設(shè)R（1，0），延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為k₂，求證：為定值．

Answer 1

（1）解：∵（2a-3c）+（a-c）i=i，∴2a-3c=0且a-c=1，∴a=3，c=2
∴b²=a²-c²=5，
故橢圓的方程為；
（2）解：由（1）知F（-2，0），∴直線AB的方程為y=x+2，
代入橢圓方程，消去y可得14x²+36x-9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=-
∴|AB|=|x₁-x₂|=
設(shè)O點(diǎn)到直線AB的距離為d，則d==
∴S_△AOB=|AB|•d=××=；
（3）證明：設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由已知，直線AR的方程為y=，即
代入橢圓方程消去x并整理，得
則y₁y₃=-，∴y₃=
∴=
∴C（）
同理D（）
∴k₂==
∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₂（x₂+2），
∴k₂===
∴=
分析：（1）根據(jù)（2a-3c）+（a-c）i=i，可求a，c的值，利用b²=a²-c²=5，即可求橢圓Γ的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=x+2，代入橢圓方程，消去y可得14x²+36x-9=0，求出|AB|，O點(diǎn)到直線AB的距離為d，即可求S_△AOB的值；
（3）求出直線AR的方程，代入橢圓方程消去x并整理，從而可得C的坐標(biāo)，同理可得D的坐標(biāo)，進(jìn)而可求斜率，化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．