Question

已知

a

=（1-cosx，sinx），

b

=（1+cosx，cosx）
（Ⅰ）若

a

•

b

=1，求x的值
（Ⅱ） 若f（x）=

a

•

b

+cosx（a-sinx）+1，x∈[

π

6

，

π

3

]且f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍？

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量的垂直的條件，即數(shù)量積等于0，利用三角函數(shù)求出x的值即可．
（Ⅱ）利用平面向量的數(shù)量積，得到f（x）的關(guān)系式，再根據(jù)f（x）≤0恒成立，轉(zhuǎn)化為a≤cosx-

2

cosx

，繼而求出函數(shù)的最小值即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（1-cosx，sinx），

b

=（1+cosx，cosx），
∴

a

•

b

=（1-cosx）（1+cos）+sinxcosx=1-cos²x+sinxcosx=1，
∴cosx（cosx-sinx）=0，
∴cosx=0．或cosx-sinx=0，
即x=kπ+

π

2

，或x=2kπ-

π

4

，k∈z．
（2）∵f（x）=

a

•

b

+cosx（a-sinx）+1=1-cos²x+sinxcosx+cosx（a-sinx）+1=2-cos²x+acosx，
又x∈[

π

6

，

π

3

]且f（x）≤0恒成立，
∴2-cos²x+acosx≤0，在x∈[

π

6

，

π

3

]恒成立，
∴a≤cosx-

2

cosx

令f（x）=cosx-

2

cosx

令t=cosx，則t∈[

1

2

，

3

2

]
則f（t）=t-

2

t

，
∴f′（t）=1+

2

t2

＞0恒成立，
∴函數(shù)f（t）為增函數(shù)，當(dāng)t=

1

2

，有最小值，即f（

1

2

）=

1

2

-2=--

3

2

，
∴a≤-

3

2

，
故a的取值范圍為（-∞，-

3

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題查了平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的解法，利用導(dǎo)函數(shù)分類求得不等式恒成立的條件是解答本題的關(guān)鍵．．