Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)，．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）記，若S_n＜100，求最大的正整數(shù)n．
（3）是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比數(shù)列，如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵，∴，（2分）
∵，∴，（3分）
∴，
∴數(shù)列為等比數(shù)列．（4分）
（2）由（1）可求得，∴．（5分）=，（7分）
若S_n＜100，則，∴n_max=99．（9分）
（3）假設(shè)存在，則m+n=2s，（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²，（10分）
∵，∴．（12分）
化簡(jiǎn)得：3^m+3ⁿ=2•3^s，（13分）
∵，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）
分析：（1）根據(jù)a_n+1和a_n關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，
（2）先由（1）得出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)分組方法求出S_n，解不等式S_n＜100即可；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，s，n，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得出（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²并化簡(jiǎn)，再根據(jù)a+b≥2，確定是否存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和的求法以及不等式的解法，綜合性很強(qiáng)，本題要注意a+b≥2運(yùn)用，本題有一定難度．