Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、．曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線．設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，證明：；

（3）設(shè)與（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為與，且，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1） 依題意可得，．

設(shè)雙曲線的方程為，

因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即．

所以雙曲線的方程為．

（2）證法1：設(shè)點(diǎn)、（，，），直線的斜率為（），

則直線的方程為，

聯(lián)立方程組 

整理，得，

解得或．所以．

同理可得，．

所以．

證法2：設(shè)點(diǎn)、（，，），

則，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260217343709252169_DA.files/image028.png">，所以，即．

因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)分別在雙曲線和橢圓上，所以，．

即，．

所以，即．

所以．

證法3：設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，

聯(lián)立方程組 

整理，得，

解得或．

將代入，得，即．

所以．

（3）解：設(shè)點(diǎn)、（，，），

則，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260217343709252169_DA.files/image048.png">，所以，即．

因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，所以，即．

因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260217343709252169_DA.files/image054.png">，，

所以．

由（2）知，，即．

設(shè)，則，

．

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052602145558964895/SYS201205260217343709252169_DA.files/image069.png">，，

所以當(dāng)，即時(shí)，．

當(dāng)，即時(shí)，．

所以的取值范圍為．

 

【解析】略