已知橢圓:的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(4,0)且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，設(shè)點關(guān)于軸的對稱點為.

（ⅰ）求證：直線過軸上一定點，并求出此定點坐標；

（ⅱ）求△面積的取值范圍.

解：（Ⅰ）因為橢圓的一個焦點是（1，0），所以半焦距=1.

因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.

所以，解得所以橢圓的標準方程為. ……………4分                

（Ⅱ）（i）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：.

記，，，

.  由A關(guān)于軸的對稱點為，得，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點為（，0），得，即.所以

即定點（1 ， 0）. ……………8分

（ii）由（i）中判別式，解得.     可知直線過定點 (1,0).

所以   得,  令記，得，當時，.

在上為增函數(shù). 所以 ，

得.故△OA1B的面積取值范圍是.  ……………12分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的一個焦點F與拋物線y2=12x的焦點重合，且橢圓C上的點到焦點F的最大距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若點P（m，n）是橢圓C上的一動點，求直線l：mx+ny=1被圓O：x2+y2=1所截得的弦長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(
2
，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，稱圓心在原點O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(
2
，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為
3
．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）過橢圓C的“準圓”與y軸正半軸的交點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，求l1，l2的方程；
（3）若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的一個焦點為F（0，1），過點F且垂直于長軸的直線被橢圓C截得的弦長為
2
；P，Q，M，N為橢圓C上的四個點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若
PF
∥
FQ
，
MF
∥
FN
且
PF
•
FM
=0，求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省高三3月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分）

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為．

（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；

（2）若點是橢圓C的“準圓”與軸正半軸的交點，是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍；

（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點，過點作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

 

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