Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓C的離心率為，點(diǎn)M是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)M到橢圓C兩焦點(diǎn)的距離之和為4
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)P（1，-1），傾斜角為45°的直線l與上述橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，求|PA|•|PB|

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)a求得b，則橢圓的方程可得．
（2）由題意知，直線l的參數(shù)方程，代入橢圓方程聯(lián)立消去x，y，根據(jù)判別式求得t的范圍，最后綜合參數(shù)t的幾何意義最后表示出|PA|•|PB|可確定答案．
解答：解：（1）由題意可設(shè)橢圓C的方程為：（a＞b＞0）
則有，解得
故所求的橢圓方程為
（2）直線l的參數(shù)方程為：，
即為，將其代入橢圓方程：整理化簡(jiǎn)得：
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則有：
于是
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生要有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用．