Question

設為數列的前項和，對任意的N，都有為常數，且．
（1）求證：數列是等比數列；
（2）設數列的公比與函數關系為，數列滿足，點落在 上，，N，求數列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和，使恒成立時，求的最小值．[

Answer 1

（1）證明過程詳見試題分析； （2）數列的通項公式為；
（3），的最小值為-6．

試題分析：（1）按照等比數列的定義證明數列是等比數列；
（2）由（1）知與函數關系為，∴是首項為，公差為1的等差數列，通項公式可求；
（3）先用錯位相減法求出數列的前項和，即，化簡得恒成立，由單調性知當時，右邊最大，所以，的最小值為-6．
（1）證明：當時，，解得．     1分
當時，．                   2分
即．
∵為常數，且，∴．               3分
∴數列是首項為1，公比為的等比數列．               4分
（2）解：由（1）得，，．            5分
∵
∴，即．
∴是首項為，公差為1的等差數列．                  7分
∴，即（）．            8分
（3）解：由（2）知，則．          9分
所以，
即，       ①
，        ②
②－①得，  
故．
，化簡得恒成立，由單調性知當時，右邊最大，所以，的最小值為-6．                            14分