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已知以原點為對稱中心、F(2,0)為右焦點的橢圓C過P(2,),直線l:y=kx+m(k≠0)交橢圓C于不同的兩點A,B.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)是否存在實數k,使線段AB的垂直平分線經過點Q(0,3)?若存在求出 k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)設出橢圓方程,由給出的橢圓焦點和橢圓過點P(2,),聯(lián)立列出關于a,b的方程組,求解后則橢圓方程可求;
(Ⅱ)存在實數k,使線段AB的垂直平分線經過點Q(0,3),由給出的橢圓方程和直線AB方程聯(lián)立,化為關于x的方程后有根與系數關系寫出AB中點坐標,由AB的中點和Q(0,3)的連線和直線AB垂直得到直線AB的斜率和截距的關系,代入判別時候不滿足判別式大于0,說明假設不成立,得到結論.
解答:解:(Ⅰ)設橢圓C的方程為(a>b>0),
∵c=2,且橢圓過點P(2,),所以,解得a2=8,b2=4,
所以橢圓C的方程為
(Ⅱ)假設存在斜率為k的直線,其垂直平分線經過點Q(0,3),
設A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點為N(x,y),
,得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-8=0,
則△=16m2k2-4(1+2k2)(2m2-8)=64k2-8m2+32>0,所以8k2-m2+4>0,
,∴,,
∵線段AB的垂直平分線過點Q(0,3),∴kNQ•k=-1,即,∴-m=3+6k2,
代入△>0整理,得36k4+28k2+5<0,此式顯然不成立.
∴不存在滿足題意的k的值.
點評:本題考查了橢圓的標準方程,考查了直線和圓錐曲線的關系,訓練了設而不求的解題方法,屬中檔題.
練習冊系列答案
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已知橢圓C以坐標軸為對稱軸,以原點為對稱中心,橢圓的一個焦點為(1,0),點(
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,
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)
在橢圓上,直線l過橢圓的右焦點與橢圓交于M,N兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若線段MN的垂直平分線過點(0,
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)
,求出直線l的方程.

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),直線l:y=kx+m(k≠0)交橢圓C于不同的兩點A,B.
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2
),直線l:y=kx+m(k≠0)交橢圓C于不同的兩點A,B.
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已知橢圓C以坐標軸為對稱軸,以原點為對稱中心,橢圓的一個焦點為(1,0),點在橢圓上,直線l過橢圓的右焦點與橢圓交于M,N兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若線段MN的垂直平分線過點,求出直線l的方程.

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