Question

定義：若函數f（x）的圖象經過變換T后所得圖象對應的函數與f（x）的值域相同，則稱變換T是f（x）的同值變換．下面給出了四個函數與對應的變換：
（1）f（x）=（x-1）²，T₁將函數f（x）的圖象關于y軸對稱；
（2）f（x）=2^x-1-1，T₂將函數f（x）的圖象關于x軸對稱；
（3）f（x）=

x

x+1

，T₃將函數f（x）的圖象關于點（-1，1）對稱；
（4）f（x）=sin（x+

π

3

），T₄將函數f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱．
其中T是f（x）的同值變換的有

（1）（3）（4）

．（寫出所有符合題意的序號）

Answer 1

分析：（1）將函數f（x）的圖象關于y軸對稱的變換不改變函數的值域；
（2）求出函數f（x）=2^x-1-1關于x軸對稱的函數解析式，分別求出值域，即可得到結論；
（3）求出函數f（x）=

x

x+1

關于點（-1，1）對稱的函數解析式，它們是同一個函數；
（4）求出函數f（x）=sin（x+

π

3

）關于點（-1，0）對稱的函數解析式是y=sin（-2-x+

π

3

），求出它們的值域，即可得到結論．

解答：解：（1）將函數f（x）的圖象關于y軸對稱的變換不改變函數的值域，故T₁屬于f（x）的同值變換；
（2）f（x）=2^x-1-1，其值域為（-1，+∞），將函數f（x）的圖象關于x軸對稱，得到的函數解析式是y=-2^x-1+1，值域為（1，+∞），T₂不屬于f（x）的同值變換；
（3）f（x）=

x

x+1

，將函數f（x）的圖象關于點（-1，1）對稱，得到的函數解析式是2-y=

x+2

x+1

，即y=

x

x+1

，它們是同一個函數，故T₃屬于f（x）的同值變換；
（4）f（x）=sin（x+

π

3

），將函數f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱，得到的函數解析式是y=sin（-2-x+

π

3

），它們的值域都為[-1，1]，故T₄屬于f（x）的同值變換；
∴T是f（x）的同值變換的有（1）（3）（4）
故答案為：（1）（3）（4）

點評：本題主要考查函數單調性的應用、函數的圖象、函數的圖象變換等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．