Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求證：S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列bn=

nan

Sn

．是否存在正整數(shù)m，使得n＞m時(shí)，b_n＞1.99恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù){a_n}是等差數(shù)列，公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，可得d=2a₁（d≠0⇒a₁≠0），進(jìn)而可證S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）可表示出數(shù)列bn=

nan

Sn

． 利用，b_n＞1.99可知對(duì)于正整數(shù)m≥100時(shí)，均滿足題目條件，從而可解．

解答：證明：（1）由已知得，（a₁+2d）²=a₁（a₁+12d）⇒d=2a₁（d≠0⇒a₁≠0），
由此，S₁=a₁，S₃=9a₁，S₉=81a₁⇒S₃²=S₁•S₉，命題得證．
（2）∵d=2a1⇒an=(2n-1)a1，⇒Sn=n2a1⇒bn=

nan

Sn

=2-

1

n

．
假設(shè)存在正整數(shù)m滿足條件，即使得當(dāng)n＞m時(shí)，2-

1

n

＞1.99，解得n＞100．∴對(duì)于正整數(shù)m≥100時(shí)，均滿足題目條件，故m的最小值為100．

點(diǎn)評(píng)：本題以等差數(shù)列為載體，綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，關(guān)鍵是正確利用通項(xiàng)公式．