【題目】如圖，四棱錐中，，，，，．

（Ⅰ）求異面直線AB與PD所成角的余弦值；

（Ⅱ）證明：平面平面PBD；

（Ⅲ）求直線DC與平面PBD所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由，得是異面直線AB與PD所成角或所成角的補(bǔ)角，利用余弦定理能求出異面直線AB與PD所成角的余弦值；（Ⅱ）由勾股定理得，再由，得平面，由此能證明平面平面PBD；

（Ⅲ）由，得直線DC與平面PBD所成角即為AB與平面PBD所成角，過點(diǎn)A作，交PD于點(diǎn)H，連結(jié)BH，推導(dǎo)出是直線AB與平面PBD所成角，由此能求出直線DC與平面PBD所成角的正弦值。

解：（Ⅰ），

是異面直線AB與PD所成角或所成角的補(bǔ)角，

，，，平面，

取的中點(diǎn)，連結(jié)，則為正方形，，，

中，，，中，，

．

異面直線AB與PD所成角的余弦值為．

（Ⅱ）證明：中，，

由勾股定理得，

又，，平面PAD，

又平面PBD，平面平面PBD．

（Ⅲ），直線DC與平面PBD所成角即為AB與平面PBD所成角，

過點(diǎn)A作，交PD于點(diǎn)H，連結(jié)BH，

由（Ⅱ）知平面平面，平面平面，

又平面，平面，

為斜線AB在平面PBD內(nèi)的射影，

是直線AB與平面PBD所成角，

中，，故中，，

直線DC與平面PBD所成角的正弦值為．

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