已知數(shù)列{an}滿足a1=
3
5
，an+1=
3an
2an+1
，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：對任意非零實(shí)數(shù)x，都有an≥
2
x
-
1
x2
-
2
3nx2
，n=1，2，…成立．
分析：（Ⅰ）取倒數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列，證明{
1
an
-1}是以
2
3
為首項(xiàng)，
1
3
為公比的等比數(shù)列，從而可求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）根據(jù)通項(xiàng)，作差配方，證明其小于等于0即可．
解答：（Ⅰ）解：∵an+1=
3an
2an+1
，∴
1
an+1
=
2
3
+
1
3an
，∴
1
an+1
-1=
1
3
(
1
an
-1)…（2分）
又
1
an
-1=
2
3
，
∴{
1
an
-1}是以
2
3
為首項(xiàng)，
1
3
為公比的等比數(shù)列…（4分）
∴
1
an
-1=
2
3
•
1
3n-1
=
2
3n
，
∴an=
3n
3n+2
…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知an=
3n
3n+2
＞0，
1
an
=1+
2
3n
，
∵
2
x
-
2
3nx2
-
1
x2
-an=
2
x
-
1
x2
(
2
3n
+1)-an=
2
x
-
1
x2an
-an=-(
an
-
1
x
an
)2≤0，
∴原不等式成立．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，構(gòu)造新數(shù)列是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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