已知,用單位圓求證下面的不等式:
(1)sinx<x<tanx;
(2)
【答案】分析:(1)利用單位圓中的三角函數(shù)線,通過面積關(guān)系證明sinx<x<tanx;
(2)利用(1)的結(jié)論,采用放縮法,求出=推出結(jié)果.
解答:證明:(1)如圖,在單位圓中,有sinx=MA,cosx=OM,
tanx=NT,連接AN,則S△OAN<S扇形OAN<S△ONT,
設(shè)的長為l,則
,即MA<x<NT,
又sinx=MA,cosx=OM,tanx=NT,
∴sinx<x<tanx;

(2)∵均為小于的正數(shù),由(1)中的sinx<x得,,
將以上2010道式相乘得=,

點評:本題考查單位圓的應(yīng)用,不等式的證明的方法,考查分析問題解決問題的能力,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知0<x<
π
2
,用單位圓求證下面的不等式:
(1)sinx<x<tanx;
(2)sin
1
2
•sin
2
3
•sin
3
4
•…•sin
2010
2011
1
2010

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知P是單位圓(圓心在坐標原點)上一點,∠xOP=
π
3
,作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N.
(1)比較|OM|與
π
6
的大小,并說明理由;
(2)∠AOB的兩邊交矩形OMPN的邊于A,B兩點,且∠AOB=
π
4
,求
OA
OB
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A是單位圓上的點,且點A在第二象限內(nèi),點B是此圓與x軸正半軸的交點,記∠AOB=α,若點A的縱坐標為
3
4
,則tan(π-2α)=
-3
7
-3
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•韶關(guān)二模)已知A是單位圓上的點,且點A在第二象限,點B是此圓與x軸正半軸的交點,記∠AOB=α,若點A的縱坐標為
3
5
.則sinα=
3
5
3
5
; tan2α=
-
24
7
-
24
7

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