Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：OE∥平面PDC；
（4）求證：平面PBD⊥平面ABCD．

Answer 1

證明：（Ⅰ）如圖所示，連接AO并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，連接BF、PF．
∵AB∥DC，BO=OD，∴，∴AO=OF，
又∵AE=EP，根據(jù)三角形的中位線定理可得OE∥PF，
而OE?平面PDC，PF?平面PDC，
∴OE∥平面PDC．
（Ⅱ）∵△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴PB=PD=2，
又BO=OD，∴PO⊥BD．
∵AB⊥AD，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD==2．
∴OB=．
在Rt△POB中，由勾股定理可得，PO==，
在Rt△ABD中，AO==．
在△PAO中，PO²+OA²=4=PA²，由勾股定理得逆定理得PO⊥AO．
又∵BD∩AF=O，∴PO⊥平面ABCD．
∵PO?平面PBD，
∴平面ABD⊥平面ABCD．
分析：（Ⅰ）如圖所示，連接AO并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，連接BF、PF，可證得AO=OF，再由已知AE=EP，可利用三角形的中位線定理即可證明結(jié)論．
（Ⅱ）如圖所示，根據(jù)面面垂直的判定定理，只要證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線即可，從圖可看出，只要證PO⊥平面ABCD即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行和面面垂直，充分利用線線平行、垂直得到線面平行和面面垂直的轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．