Question

如圖所示，有一塊邊長為6m的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個邊長為x的小正方形，做成一個長方形的無蓋容器．

（Ⅰ）求這個容器的容積V（x）；
（Ⅱ）為使其容積V（x）最大，求截下的小正方形的邊長x的值及容積V（x）的最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,基本不等式

專題：應用題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）無蓋容器的底邊長為6-2x，無蓋容器的高為x，可得出容積V（x）與自變量x之間的關系式，由6-2x＞0，可求出v（x）的定義域；
（Ⅱ）利用導數(shù)法，求出其函數(shù)值取最大值時，自變量x的值，即可得到要使無蓋容器的容積最大，無蓋容器的底邊長．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，無蓋容器的底邊長為6-2x，無蓋容器的高為x，
∴無蓋容器的容積是V（x）與x的函數(shù)關系式是：V（x）=（6-2x）²•x，且f（x）的定義域為（0，3）
（Ⅱ）V′（x）=（6-2x）²•x=（6-2x）（6-6x），
令V′（x）=0，則x=1，或x=3（舍）
∵函數(shù)在（0，1）上單調遞增，在（1，3）上單調遞減
∴當無蓋容器底面為1m時，無蓋容器的容積最大為16m³．

點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，解題的關鍵是設出自變量并根據(jù)已知條件確定出函數(shù)的解析式和定義域，將一個實際問題轉化為函數(shù)問題．