已知橢圓C：(a＞b＞0)經(jīng)過點P(1，)，且兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．

(1)求橢圓的方程；

(2)動直線l：mx＋ny＋n＝0(m，n∈R)．交橢圓C于A、B兩點，求證：以AB為直徑的動圓恒經(jīng)過定點(0，1)．

答案：
解析：

　　解：(1)∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，

　　∴∴

　　又∵橢圓經(jīng)過點，代入可得，∴

　　故所求橢圓方程為　3分

　　(2)首先求出動直線過(0，)點．5分

　　當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

　　，此圓過點T(0，1)

　　當L與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程：，

　　此圓過點T(0，1)　7分

　　由

　　設點、　10分

　　

　　

　　

　　

　　所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T(0，1)

　　所以在坐標平面上存在一個定點T(0，1)滿足條件．12分


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C:=1(a＞b＞0),直線l1:=1被橢圓C截得的弦長為2，過橢圓C的右焦點且斜率為3的直線l2被橢圓C截得的弦長是橢圓長軸長的，求橢圓C的方程.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當△AMN的面積為時,求k的值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年人教版高考數(shù)學文科二輪專題復習提分訓練22練習卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為(　　)

(A) (B) (C) (D)

 

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（本題滿分14分）

已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過橢圓C上的動點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年遼寧省高二上學期期末考試數(shù)學文卷 題型：解答題

(本小題滿分12分)

已知橢圓C:（a＞b＞0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的

距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;    

(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的

最大值.

 

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