Question

設函數f(x)=-

1

3

x3+ax2-2ax-2（a為常數），且f（x）在[1，2]上單調遞減．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）當a取得最大值時，關于x的方程f（x）=x²-7x-m有3個不同的根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數f(x)=-

1

3

x3+ax2-2ax-2的導函數f'（x），再將“f（x）在[1，2]上單調遞減”等價轉化為f'（x）≤0在[1，2]恒成立問題，最后將恒成立問題轉化為求函數最值問題，即可得實數a的取值范圍
（2）由（1）得a=2，先將“方程f（x）=x²-7x-m有3個不同的根”，轉化為

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3個不同根，再轉化為函數g(x)=

x3

3

-x2-3x+2-m有三個零點問題，然后利用導數研究函數g（x）的單調性和極值，利用函數性質列關于m的不等式，即可解得m的范圍

解答：解：（1）依題意得：f'（x）=-x²+2ax-2a∵f（x）在[1，2]上單調遞減
∴f'（x）=-x²+2ax-2a≤0在[1，2]恒成立
即：當x=1時，a∈R當x≠1時，2a≤

x2

x-1

在（1，2]恒成立
記g(x)=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2則g_min（x）=4
∴只須a≤2
綜上，a≤2
（2）當a=2時，方程f（x）=x²-7x-m有3個不同根等價于

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3個不同根
記g(x)=

x3

3

-x2-3x+2-m則g'（x）=x²-2x-3
令g'（x）＞0得x＜-1或x＞3令g'（x）＜0得-1＜x＜3
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）遞增，在（-1，3）遞減
∴g_極小（x）=g（3）=-7-mg極大(x)=g(-1)=

11

3

-m
要使

x3

3

-x2-3x+2-m=0有3個不同根
只須

g極小(x)=g(3)=-7-m＜0 g極大(x)=g(-1)= 11 3 -m＞0

得-7＜m＜

11

3

點評：本題綜合考察了導數在函數單調性中的應用，導數在函數零點存在性和零點個數中的應用，不等式恒成立問題的解決方法