Question

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2．
（1）求證：PC⊥AE；
（2）求證：CE∥平面PAB；
（3）求三棱錐P-ACE的體積V．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PC中點(diǎn)F，利用等腰三角形的性質(zhì)可得PC⊥AF，先證明CD⊥平面PAC，可得CD⊥PC，從而EF⊥PC，故有PC⊥平面AEF，進(jìn)而證得PC⊥AE．
（2）取AD中點(diǎn)M，利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB，利用同位角相等證明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，證得EC∥平面PAB．
（3）由（1）知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC，求得EF 的值，代入V=進(jìn)行運(yùn)算．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=，AC=2．取PC中點(diǎn)F，連AF，EF，
∵PA=AC=2，∴PC⊥AF．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∠ACD=90°，即CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∴EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AE．
（2）證明：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM．則
EM∥PA．∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵M(jìn)C?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．
（3）由（1）知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，∴CD=2，得EF=．
則V=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、線線垂直的方法，取PC中點(diǎn)F，AD中點(diǎn)M，利用三角形的中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．