Question

已知各項為正數的等差數列{a_n}滿足．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設c_n=a_n+b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）（方法一）設等差數列{a_n}的公差為d，由題意可得，結合a_n＞0可知d＞0，從而可求d，進而可求通項
（方法二）由等差數列的性質可知a₂+a₈=a₃+a₇，結合a₃•a₇=32可求a₃，a₇，進而可求公差d，從而可求通項
（II）由題意可得=2ⁿ⁺¹，從而可得c_n=a_n+b_n=n+1+2ⁿ⁺¹，利用分組求和及等差數列與等比數列的求和公式可求
解答：解：（I）（方法一）設等差數列{a_n}的公差為d
則
聯(lián)立方程，消去a₁可得，9-d²=8
∴d²=1
∴d=±1（4分）
由a_n＞0可知公差d＞0
∴d=1
∴a₁=2
∴a_n=n+1（6分）
（方法二）∵數列{a_n}是等差數列
由等差數列的性質可得，a₂+a₈=a₃+a₇=12
∵a₃•a₇=32
∴
解方程可得，或（4分）
∵a_n＞0
∴d＞0，
∴
由等差數列的通項公式可得，d==
∴等差數列的通項公式為：a_n=a₃+（n-3）d=n+1（6分）
（II）由=2ⁿ⁺¹
∴c_n=a_n+b_n=n+1+2ⁿ⁺¹
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）（9分）
=[2+3+…+（n+1）]+（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）
==（12分）
點評：本題 主要考查了等差數列的通項公式，求和公式，等比數列的求和公式及分組求和方法的應用，解題的關鍵是熟練掌握數列知識的基本方法．