Question

已知正方形ABCD，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-D的大小為（）．

（1）證明BF//平面ADE；

（2）若△ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：E、F分別是正方形ABCD的邊AB、CD的中點(diǎn).

∴ED//FB且EB=FD

∴四邊形EBFD是平行四邊形

∴BF//ED

∴ED平面AED而B(niǎo)F平面AED

∴BF//平面AED

（Ⅱ）解法一：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，過(guò)點(diǎn)A用AG⊥平面BCDE垂足為G，連接GC，GD

∵△ACD為正三角形

∴AC=AD

∴GC=GD

∴G在CD的垂直平分線上。

又∵EF是CD的垂直平分線

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上

過(guò)G作GH⊥ED，垂足為H，連接AH則AH⊥DE

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG =

設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，連接AF，

在折后圖的△AEF中，AF=，EF=2AE=

△AEF為直角三角形，AG?EF=AE?AF

∴AG=

在Rt△ADE中，AH?DE=AD?AE

∴AH=

∴GH=

∴

解法二：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上，連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG′⊥EF，垂足為G′

∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，

∴AF⊥CD

又∵EF⊥CD

∴CD⊥平面AEF

∵AG′平面AEF

∴CD⊥AG′

又∵AG′⊥EF，且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE，

∴AG⊥平面BCDE，

∴G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G。

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上

過(guò)G作GH⊥ED，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE，

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG =

設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為。

在折后圖的△AEF中，AF=，EF=2AE=

∴△AEF為直角三角形，AG?EF=AE?AF，

∴AG=，

在Rt△ADE中，AH?DE=AD?AE，

∴AH=

∴GH=

∴

解法三：

點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上連結(jié)AF，在平面AEF內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG′⊥EF，垂足為G′

∵△ACD為正三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)

∴AF⊥CD

又∵EF⊥CD

∴CD⊥平面AEF

∵CD平面BCDE，

∴平面AEF⊥平面BCDE

又平面AEF∩平面BCDE=EF，AG′⊥EF，

∴AG′⊥平面BCDE，即G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G，

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上。

過(guò)G作GH⊥DE，垂足為H，連結(jié)AH，則AH⊥DE

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG =

設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

在折后圖的中，.

在折后圖的△AEF中，AF=，EF=2AE=

∴△AEF為直角三角形，AG?EF=AE?AF，

∴AG=，

在Rt△ADE中，AH?DE=AD?AE，

∴AH=

∴GH=

∴………………………12分