Question

已知橢圓C與雙曲線x²-

y2

3

=1的焦點相同，且與直線y=x+4有公共點，當橢圓C的長軸最短時，橢圓C的離心率=

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據已知條件便可得到c=2，并且可設出橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，并且得到方程組

x2 a2 + y2 a2-4 =1 y=x+4

有解，從而得到方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1有解，所以根據判別式△≥0得到a²≥10，所以a的最小值為

10

，所以帶入橢圓的離心率公式即可求其離心率．

解答： 解：橢圓C的焦點為（-2，0），（2，0）；
∴設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1；
橢圓C與直線y=x+4有公共點；
∴方程

x2

a2

+

(x+4)2

a2-4

=1，即(

1

a2

+

1

a2-4

)x2+

8

a2-4

x+

16

a2-4

-1=0有解；
∴△=a⁴-14a²+40≥0；
解得a²≥10，或a²≤4；
∵a＞2；
∴a²≥10；
∴a的最小值為

10

；
∴該橢圓的離心率為

c

a

=

2

10

=

10

5

．
故答案為：

10

5

．

點評：考查雙曲線、橢圓的標準方程，橢圓的長軸、焦點的概念，橢圓與直線有公共點時對應的方程的關系，一元二次方程有解的充要條件，以及橢圓離心率的計算公式．