Question

已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，x²+y²+z²+λ

xyz

≤1恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題設(shè)條件得λ≤

1-(x2+y2+z2)

xyz

=

2(xy+yz+xz)

xyz

，求出右邊的最小值，即可求λ的最大值．

解答： 解：由題設(shè)條件得λ≤

1-(x2+y2+z2)

xyz

=

2(xy+yz+xz)

xyz

據(jù)不等式（a+b+c）²≥3（ab+bc+ca）得（xy+yz+zx）²≥3xyz（x+y+z）=3xyz，
所以xy+yz+zx≥

3xyz

因此

2(xy+yz+xz)

xyz

≥2

3

所以只要λ≤2

3

即可，
所以λ的最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．