Question

為了減少交通事故，某市在不同路段對(duì)機(jī)動(dòng)車時(shí)速有不同的限制．2011年6月9日，在限速為70km/h的某一路段上，流動(dòng)測(cè)速車對(duì)經(jīng)過(guò)該路段的100輛機(jī)動(dòng)車進(jìn)行測(cè)速，如圖是所測(cè)100輛機(jī)動(dòng)車時(shí)速的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）估計(jì)這100輛機(jī)動(dòng)車中，時(shí)速超過(guò)限定速度10%以上（包括10%）的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)；
（Ⅱ）該市對(duì)機(jī)動(dòng)車超速的處罰規(guī)定如下：時(shí)速超過(guò)限定速度10%以內(nèi)的不罰款；超過(guò)限定速度10%（包括10%）以上不足20%的處100元罰款；超過(guò)限定速度20%（包括20%）以上不足50%的處200元罰款；…．設(shè)這一路段中任意一輛機(jī)動(dòng)車被處罰款金額為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以被測(cè)的100輛機(jī)動(dòng)車時(shí)速落入各組的頻率作為該路段中任意一輛機(jī)動(dòng)車時(shí)速落入相應(yīng)組的概率）

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得，時(shí)速超過(guò)限定速度10%的時(shí)速為70×（1+10%）=77（km/h）
由頻率分布直方圖得，時(shí)速在[77，80）中的車輛數(shù)為0.020×10×100×=6；
時(shí)速在[80，90）中的車輛數(shù)為0.004×10×100=4；
時(shí)速在[90，100）中的車輛數(shù)為0.002×10×100=2
∴估計(jì)這100輛機(jī)動(dòng)車中，時(shí)速超過(guò)限定速度10%以上（包括10%）的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)6+4+2=12；
（Ⅱ）由題意，超過(guò)限定速度20%的時(shí)速為70×（1+20%）=84（km/h）
超過(guò)限定速度50%的時(shí)速為70×（1+50%）=105（km/h）
因此，X的可能取值為0，100，200
P（X=0）=1-0.02-0.04-0.20×0.3=0.88
P（X=100）=0.2×0.3+0.04×0.4=0.076
P（X=200）=0.04×0.6+0.02=0.044
所以X的分布列為

X	0	100	200
P	0.88	0.076	0.044

X的數(shù)學(xué)期望為EX=100×0.076+200×0.044=16.4
分析：（Ⅰ）求出時(shí)速超過(guò)限定速度10%的時(shí)速，根據(jù)頻率分布直方圖得，分別計(jì)算時(shí)速在[77，80）、[80，90）、[90，100）中的車輛數(shù)，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由題意，超過(guò)限定速度20%的時(shí)速為70×（1+20%）=84（km/h），超過(guò)限定速度50%的時(shí)速為70×（1+50%）=105（km/h），從而X的可能取值為0，100，200，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵是讀懂圖形，理解題意．