已知橢圓與的離心率相等. 直線與曲線交于兩點（在的左側），與曲線交于兩點（在的左側）,為坐標原點，．

（1）當=，時，求橢圓的方程；

（2）若，且和相似，求的值．

 

【答案】

（1）的方程分別為，．（2）.

【解析】

試題分析：（1）由于已知中明確了曲線方程的形式，所以，關鍵是建立“待定系數(shù)”.由已知建立方程組即可得解.

（2）由于三角形相似，因此要注意利用對應邊成比例，并結合，建立的方程.將與方程，聯(lián)立可得在坐標關系．

利用，得到 .

根據(jù)橢圓的對稱性可知：，，又和相似，得到，

于是從出發(fā)，得到，即的方程.

試題解析：

（1）∵的離心率相等，

∴,∴， 2分

，將分別代入曲線方程，

由，

由.

當=時，,．

又∵,.

由 解得.

∴的方程分別為，． 5分

（2）將代入曲線得

將代入曲線得，

由于，

所以,，，．

，，

8分

根據(jù)橢圓的對稱性可知：，， 又和相似，

，

，

由化簡得

代入得 13分

考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的數(shù)量積.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點分別為F1，F(xiàn)2，在x軸上的兩個端點分別為A，B．且四邊形F1AF2B是邊長為1的正方形．
（1）求橢圓C的離心率及其標準方程；
（2）若直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異的兩點MN，且
MP
=3
PN
，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•衡陽模擬）已知橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），離心率e=
2
2
，上焦點到直線y=
a2
c
的距離為
2
2
，直線l與y軸交于一點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B且
AP
=t
PB
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若
OA
+t
OB
=4
OP
，求m的取值范圍•

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓：，離心率為，焦點過的直線交橢圓于兩點，且的周長為4.

(Ⅰ)求橢圓方程;

(Ⅱ) 直線與y軸交于點P(0,m)(m0),與橢圓C交于相異兩點A,B且.若

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江西省紅色六校高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓：，離心率為，焦點過的直線交橢圓于兩點，且的周長為4.

(Ⅰ)求橢圓方程;

(Ⅱ) 直線與y軸交于點P(0,m)(m0),與橢圓C交于相異兩點A,B且.若,求m的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省濟南市高三下學期二月月考理科數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且.

（1）求橢圓方程；

（2）求的取值范圍．

 

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