Question

設(shè)G為△ABC的重心，，則的值=    ．

Answer 1

【答案】分析：欲求的值，由于=，故須求出三角形的內(nèi)角及邊的比值，設(shè)出三角形的三邊分別為a，b，c，根據(jù)由G為三角形的重心，根據(jù)中線的性質(zhì)及向量的加法法則分別表示出 ，和 ，代入化簡后的式子中，然后又根據(jù) 等于 加 ，把上式進行化簡，最后得到關(guān)于 和 的關(guān)系式，由 和 為非零向量，得到兩向量前的系數(shù)等于0，列出關(guān)于a，b及c的方程組，不妨令b=，，即可求出a與b的值，然后根據(jù)余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，同理求得cosC即得．
解答：解：因為
設(shè)三角形的邊長順次為a，b，c，根據(jù)正弦定理得：
a +2b +2c =，
由點G為三角形的重心，根據(jù)中線的性質(zhì)及向量加法法則得：
3 =+，3 =+，3 =+，
代入上式得：a（ +）+2b（ +）+2c（ +）=，
又 =+，上式可化為：
a（2 +）+2b（ +）+2c（-+2 ）=，
即（2a-2b-2c） +（-a-2b+4c） =，
則有 ，令b=，解得：，
所以cosB===，
cosC===，
∴====-
故答案為：
點評：此題考查學生靈活運用向量在幾何中的應用、余弦定理化簡求值，掌握向量的加法法則及中線的性質(zhì)，是一道中檔題．