如圖所示,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的
倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).
(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PAC
D的大小;
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.
(1)證明詳見解析;(2)30°;(3)存在 SE∶EC=2∶1
解析試題分析:(1)設(shè)AC交BD于O,以 、
、
分別為S
,D
,C
,
x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則S,D
,C
,
求出,
的坐標(biāo),并計(jì)算得到
·
=0,從而AC⊥SD.(2)
為平面PAC的一個法向量,
為平面DAC的一個法向量,向量與
的夾角等于二面角P
AC
D的平面角,根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算出
與
的夾角即可.(3)假設(shè)存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC,設(shè)
=t
(0≤t≤1),則
=
+
=
+t
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/39/1/1vgds2.png" style="vertical-align:middle;" />·
=0,可建立關(guān)于t的等式,解之即可.
試題解析:(1)證明:連接BD,設(shè)AC交BD于O,
由題意知SO⊥平面ABCD,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),、
、
分別為
x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)底面邊長為a,,則高SO=a.于是S
,D
,C
,
=
,
=
,
·
=0,故OC⊥SD,從而AC⊥SD. 4分
(2)解:由題設(shè)知,平面PAC的一個法向量為=
,
平面DAC的一個法向量為=
,則cos<
,
>=
=
,
故所求二面角的大小為30°. 8分
(3)解:在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC.,由(2)知是平面PAC的一個法向量,
且=
,
=
, 設(shè)
=t
(0≤t≤1),
=
+
=
+t
=
,而
·
=0
t=
,
即當(dāng)SE∶EC=2∶1時,BE∥平面PAC. 12分
考點(diǎn):1.空間兩向量垂直的充要條件;2.二面角;3.直線與平面平行判定.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面
是邊長為1的菱形,
,
底面
,
,
為
的中點(diǎn),
為
的中點(diǎn),
于
,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)求出平面的一個法向量并證明
平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知四棱錐的底面
是正方形,
底面
,
是
上的任意一點(diǎn).
(1)求證:平面平面
;
(2)當(dāng)時,求二面角
的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,平面平面
,
是等腰直角三角形,
,四邊形
是直角梯形,
∥AE,
,
,
分別為
的中點(diǎn).
(1)求異面直線與
所成角的大。
(2)求直線和平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱柱中,△
是邊長為
的等邊三角形,
平面
,
,
分別是
,
的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面
;
(2)若為
上的動點(diǎn),當(dāng)
與平面
所成最大角的正切值為
時,求平面
與平面
所成二面角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖8,在直角梯形中,
,
,且
.現(xiàn)以
為一邊向形外作正方形
,然后沿邊
將正方形
翻折,使平面
與平面
互相垂直,如圖9.
(1)求證:平面平面
;
(2)求平面與平面
所成銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題12分)如圖:四棱錐P—ABCD中,底面ABCD
是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動.
(1)證明:無論點(diǎn)E在BC邊的何處,都有PE⊥AF;
(2)當(dāng)BE等于何值時,PA與平面PDE所成角的大小為45°.
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