Question

【題目】如圖，已知多面體的底面是邊長為2的菱形， 底面， ，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析： 連接，交于點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，連接， ，先證出，再證出平面，，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證平面平面；

先證明，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，即，運(yùn)用解三角形知識(shí)求其正弦值。

解析：（1）證明：連接，交于點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，連接， ．

∵， 分別為， 的中點(diǎn)，

∴，且，

∵，且，

∴，且，

∴四邊形為平行四邊形，∴，即，

∵平面， 平面，∴，

∵是菱形，∴．

∵，∴平面，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）因?yàn)橹本�與平面所成角為，

所以，所以，

所以，故為等邊三角形，

設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則 ，

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，

則由，得（*）

因?yàn)?/span>面， 面，所以，

又， ，∴面；

因?yàn)?/span>， 平面， 面，所以面，

所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，即，

因?yàn)?/span>， ，所以，

又，代入（*）得，所以，

設(shè)與平面所成角的正弦值為．