AB垂直于△BCD所在的平面，AC=
10
，AD=
17
，BC：BD=3：4，當△BCD的面積最大時，點A到直線CD的距離為
13
5
13
5
．
分析：利用線面垂直的性質(zhì)可得AB⊥BC，AB⊥BD，利用勾股定理可得BC、BD、AB．當∠CBD=90°時，△BCD的面積最大，CD=
BC2+BD2
．過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，則CD⊥AE．利用等面積可得BE，再利用勾股定理可得AE．
解答：解：如圖所示．設BC=3x，則BD=4x．∵AB⊥平面BCD．
∴AB⊥BC，AB⊥BD．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=
AC2-BC2
=
10-9x2
．
在Rt△ABD中，同理，AB=
17-16x2
，
∴
10-9x2
=
17-16x2
，解得x=1．
∴BC=3，BD=4，AB=1．
當∠CBD=90°時，△BCD的面積最大，CD=
BC2+BD2
=5．
過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，則CD⊥AE．
在Rt△BCD中，BE=
BC•BD
CD
=
12
5
．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BE．
∴AE=
AB2+BE2
=
1+(
12
5
)2
=
13
5
．
故答案為
13
5
．
點評：本題綜合考查了線面垂直的性質(zhì)、勾股定理等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選做題（考生只能從A，B，C中選做一題，多做以所做第一題記分）
A．（不等式選做題）
已知a∈R，若關于x的方程x2+4x+|a-1|+|a+1|=0無實根，則a的取值范圍是
（-∞，-2）∪（2，+∞）
（-∞，-2）∪（2，+∞）
．
B．（幾何證明選做題）
如圖，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC=1，∠BCD=30°，則圓O的面積為
π
π
．
C．（坐標系與參數(shù)方程選做題）
在極坐標系中，若過點（1，0）且與極軸垂直的直線交曲線ρ=4cosθ于A、B兩點，則|AB|=
2
3
2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•宣城模擬）如圖甲，四邊形ABCD是由兩個直角三角形拼成的平面圖形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
∠DBC=30°，CD=1．現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如圖乙），連AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

（Ⅰ）求證：AD⊥平面BEF；
（Ⅱ）求BC與平面BEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出
BMBD
的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

選做題（考生只能從A，B，C中選做一題，多做以所做第一題記分）
A．（不等式選做題）
已知a∈R，若關于x的方程x2+4x+|a-1|+|a+1|=0無實根，則a的取值范圍是________．
B．（幾何證明選做題）
如圖，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC=1，∠BCD=30°，則圓O的面積為________．
C．（坐標系與參數(shù)方程選做題）
在極坐標系中，若過點（1，0）且與極軸垂直的直線交曲線ρ=4cosθ于A、B兩點，則|AB|=________．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年陜西省漢中市寧強縣天津高級中學高三（上）第三次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

選做題（考生只能從A，B，C中選做一題，多做以所做第一題記分）
A．（不等式選做題）
已知a∈R，若關于x的方程x2+4x+|a-1|+|a+1|=0無實根，則a的取值范圍是    ．
B．（幾何證明選做題）
如圖，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC=1，∠BCD=30°，則圓O的面積為    ．
C．（坐標系與參數(shù)方程選做題）
在極坐標系中，若過點（1，0）且與極軸垂直的直線交曲線ρ=4cosθ于A、B兩點，則|AB|=    ．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年安徽省宣城市六校高三第三次聯(lián)考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖甲，四邊形ABCD是由兩個直角三角形拼成的平面圖形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
∠DBC=30°，CD=1．現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如圖乙），連AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

（Ⅰ）求證：AD⊥平面BEF；
（Ⅱ）求BC與平面BEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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