已知A，B，C是三角形△ABC三內(nèi)角，向量
m
=(-1，
3
)，
n
=(cosA，sinA)，且
m
•
n
=1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若
1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3，求tanB，tanC．
分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積運算公式與兩角差的正弦公式求出關(guān)于A的正弦，再利用角的范圍求出角A；
（2）利用平方差公式與倍角公式對
1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3變形，求出tanB，根據(jù)tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-
tanA+tanB
1-tanAtanB
，求出tanC．
解答：解：（1）
m
=（-1，
3
），
n
=（cosA，sinA），
m
•
n
=-cosA+
3
sinA=2sin（A-
π
6
）=1，
即sin（A-
π
6
）=
1
2
，
又A為三角形的內(nèi)角，0＜A＜π，-
π
6
＜A＜
5π
6
，
故A-
π
6
=
π
6
，即A=
π
3
．
（2）
1+sin2B
cos2B-sin2B
=
(cosB+sinB)2
(cosB+sinB)(cosB-sinB)
=
cosB+sinB
cosB-sinB
=
1+tanB
1-tanB
=-3，
解得tanB=2，
∵A=
π
3
，∴tanA=
3
，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
3
+2
1-2
3
=
8+5
3
11
．
點評：本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，向量的數(shù)量積運算，考查了倍角公式、兩角和與差的正弦、正切公式，需細心．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是三角形的三個頂點，
AB
2=
AB
•
AC
+
AB
•
CB
+
BC
•
CA
，則△ABC為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題（湖北卷）解析版（理） 題型：選擇題

 記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為已知的三邊邊長為a，b，c（），定義它的傾斜度為

   

    則是“為等邊三角”的

    A．必要而不充分的條件   B．充分而不必要的條件

    C．充要條件     D．既不充分也不必要的條件

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知A、B、C是三角形的三個頂點，
AB
2=
AB
•
AC
+
AB
•
CB
+
BC
•
CA
，則△ABC為（　�。�
A．等腰三角形
B．直角三角開
C．等腰直角三角形
D．既非等腰三角形又非直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年上海外國語大學(xué)附中高三（上）第一次周練數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知A、B、C是三角形的三個頂點，，則△ABC為（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角開
C．等腰直角三角形
D．既非等腰三角形又非直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2005-2006學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知A、B、C是三角形的三個頂點，，則△ABC為（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角開
C．等腰直角三角形
D．既非等腰三角形又非直角三角形

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