Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD=，E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC中點(diǎn)，求二面角E-DQ-C的余弦值；
（Ⅲ）若，當(dāng)PA∥平面DEQ時，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明AD⊥平面POB，即可證明AD⊥PB；
（Ⅱ）證明PO⊥底面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DEQ的法向量為，平面DQC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；
（Ⅲ）求出平面DEQ法向量為，利用PA∥平面DEQ，即，從而可得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，BD．
因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD．      …（1分）
因?yàn)榱庑蜛BCD中，∠BCD=60°，所以AB=BD，所以BO⊥AD．      …（2分）
因?yàn)锽O∩PO=O，所以AD⊥平面POB，所以AD⊥PB．      …（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BO⊥AD，PO⊥AD．
因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以PO⊥底面ABCD．     …（6分）
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．…（7分）
則D（-1，0，0），，P（0，0，1），，
因?yàn)镼為PC中點(diǎn)，所以．                   …（8分）
所以，，所以平面DEQ的法向量為．
因?yàn)?nbsp;，，
設(shè)平面DQC的法向量為，則，∴
令，則y=1，，即．         …（9分）．
由圖可知，二面角E-DQ-C為銳角，所以余弦值為．       …（10分）
（Ⅲ）解：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191514088680385/SYS201310241915140886803015_DA/20.png">，所以 ，
由（Ⅱ）知，，
若設(shè)Q（x，y，z），則，
由 ，得，
在平面DEQ中，，，
所以平面DEQ法向量為，…（12分）
又因?yàn)镻A∥平面DEQ，所以，…（13分）
即（1-λ）+（-1）（2λ-1）=0，得．
所以，當(dāng)時，PA∥平面DEQ．                         …（14分）
點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查線線垂直，考查線面平行，考查面面角，掌握線面垂直的判定方法，正確運(yùn)用向量法是解題的關(guān)鍵．