Question

如圖所示，多面體EF-ABCD中，ABCD是梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CB=AE=a，∠ACB=。
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）若M是棱EF上一點，AM∥平面BDF，求EM；
（3）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值。

Answer 1

（1）證明：（1）平面ACEF∩ABCD=AC，，從而BC⊥AC，
又因為面ABCD，平面ACEF⊥平面ABCD，
所以BC⊥平面ACFE。
（2）解：連接BD，記AC∩BD=O，
在梯形ABCD中，因為AD=DC=CB=a，AB∥CD，
所以，
，，從而。
又因為，CB=a，所以，
連接FO，由AM∥平面BDF，得AM∥FO，
因為ACFE是矩形，所以。
（3）解：以C為原點，CA、CB、CF分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系C-xyz，

設平面DEF的一個法向量為，
則有，即，解得；
同理可得平面BEF的一個法向量為，
觀察知二面角B-EF-D的平面角為銳角，所以其余弦值為。