Question

（2012•東莞二模）已知△ABC的邊AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，M（2，0）滿足

BM

=

MC

，點(diǎn)T（-1，1）在AC邊所在直線上且滿足

AT

•

AB

=0．
（1）求AC邊所在直線的方程；
（2）求△ABC外接圓的方程；
（3）若動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N（-2，0），且與△ABC的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由已知

AT

•

AB

=0可得△ABC為Rt△ABC，由AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，可求直線AC的斜率，點(diǎn)T（-1，1）在直線AC上，利用直線的點(diǎn)斜式可求
（2）AC與AB的交點(diǎn)為A，聯(lián)立方程可求A的坐標(biāo)，由

BM

=

MC

，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可得MRt△ABC的外接圓的圓心，進(jìn)而可求r=|AM|，外接圓的方程可求
（3）由題意可得|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

，結(jié)合圓錐曲線的定義可求軌跡方程

解答：解：（1）∵

AT

•

AB

=0
∴AT⊥AB，又T在AC上
∴AC⊥AB，△ABC為Rt△ABC，
又AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，所以直線AC的斜率為-3．
又因?yàn)辄c(diǎn)T（-1，1）在直線AC上，
所以AC邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
（2）AC與AB的交點(diǎn)為A，所以由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），
∵

BM

=

MC

∴M（2，0）為Rt△ABC的外接圓的圓心
又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
從△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．
（3）因?yàn)閯?dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N，所以|PN|是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，
所以|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．
故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2

2

的雙曲線的左支．
因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)a=

2

，半焦距c=2．所以虛半軸長(zhǎng)b=

c2-a2

=

2

．
從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為

x2

2

-

y2

2

=1(x≤-

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩直線垂直的斜率關(guān)系的應(yīng)用，直線方程的點(diǎn)斜式的應(yīng)用，直角三角形的外接圓的性質(zhì)的應(yīng)用及橢圓定義、橢圓方程求解等知識(shí)的綜合應(yīng)用，本題考查的知識(shí)點(diǎn)較多，要求考生具備綜合應(yīng)用知識(shí)的能力