Question

如圖，某城市有一條從正西方AO通過(guò)市中心O后向東北O(jiān)B，現(xiàn)要修一條地鐵L，在OA上設(shè)一站，在OB上設(shè)一站，地鐵在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，設(shè)地鐵在AB部分的總長(zhǎng)度為ykm．
（1）按下列要求建立關(guān)系式：
（i）設(shè)∠OAB=α，將y表示為α的函數(shù)；
（ii）設(shè)OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B兩站分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處，才能使AB最短，并求出最短距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）（i）過(guò)O作OH⊥AB于H，則由及直角三角形的三角關(guān)系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可
（ii） 由等面積原理得，可求AB
（2）選擇方案一：結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求AB的最小值
選擇方案二：由余弦定理得=，結(jié)合基本不等式可求AB的最小值
解答：解：（1）（i）過(guò)O作OH⊥AB于H
由題意得，
且
即AH=10cotα…（2分）
即…（4分）
∴==…（8分）
（ii） 由等面積原理得，即…（10分）
（2）選擇方案一：當(dāng)時(shí)，…（12分）
此時(shí)，而
所以．                         …（14分）
選擇方案二：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190821972781792/SYS201310241908219727817015_DA/21.png">，
由余弦定理得=
∴…（12分）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，綜合考查了基本不等式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是合理的把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題