Question

在△ABC中，已知sinA：sinB=

2

：1，c²=b²+

2

bc，求 A、B、C的度數(shù)．

Answer 1

分析：利用正弦定理化簡sinA：sinB=

2

：1，得到a與b的關(guān)系，再利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將表示出的a代入，整理后表示出c²-b²，再由已知的c²=b²+

2

bc表示出c²-b²，兩者相等，變形后可得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，將A的度數(shù)代入sinA：sinB=

2

：1中，求出sinB的值，再根據(jù)a大于b，得到A大于B，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，進而利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)．

解答：解：由sinA：sinB=

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：1，利用正弦定理化簡得：a：b=

2

：1，即a=

2

b，
根據(jù)余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即2b²=b²+c²-2bccosA，
∴c²-b²=2bccosA，
又c²=b²+

2

bc，即c²-b²=

2

bc，
∴2bccosA=

2

bc，即cosA=

2

2

，
又A為三角形的內(nèi)角，∴A=45°，
∴sinB=

2

2

sinA=

1

2

，
∵b＜a，即B＜A，
∴B=30°，
∴C=180°-（A+B）=105°，
則A、B、C的度數(shù)分別為45°，30°，105°．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的邊角關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．