Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=，且當(dāng)n＞1，n∈N^*時(shí)，有a_n-1-a_n-4a_n-1a_n=0，
（1）求證：數(shù)列 { }為等差數(shù)列；
（2）試問a₁a₂是否是數(shù)列 {a_n}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)a_n-1-a_n-4 a_n-1 a_n=0，兩邊同除以a_n-1 a_n，可得-=4，即-=4，從而可證{}是以=5為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=，從而a₁a₂=×=，進(jìn)而可判斷a₁a₂是數(shù)列{a_n}的第11項(xiàng)．
解答：（1）證明：很顯然，數(shù)列中的各項(xiàng)均不為0
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1-a_n-4 a_n-1 a_n=0，兩邊同除以a_n-1 a_n
得-=4，即-=4
對(duì)n＞1，n∈N^*成立，
∴{}是以=5為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）得=+（n-1）d=4n+1，
∴a_n=，
∴a₁a₂=×=．
設(shè)a₁a₂是數(shù)列{a_n}的第t項(xiàng)，
則=，
解得t=11∈N^*．
∴a₁a₂是數(shù)列{a_n}的第11項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是等差數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是將數(shù)列遞推式變形．