Question

（13分）已知函數(shù) 

（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

Answer 1

解析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，，其定義域是，

                    ………（1分）

    令，即，解得或．

    ，舍去．

     當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∴函數(shù)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減（4分）

    ∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為．

當(dāng)時(shí)，，即．

    ∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)．                       ………………（6分）

（Ⅱ）法一：因?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090527/20090527095952020.gif' width=148 height=24>其定義域?yàn)?IMG src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090527/20090527095951002.gif' width=49 height=21>，

所以……（7分）

①當(dāng)a=0時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意（8分）

②當(dāng)a>0時(shí)，等價(jià)于，即．

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

依題意，得解之得．          …………………（10分）

③當(dāng)a<0時(shí)，等價(jià)于，即?

此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，得

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是       ………（13分）