Question

已知函數(shù)f(x)＝ax²－(4a＋2)x＋4lnx，其中a≥0．
（1）若a＝0，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

Answer 1

（1）2x－y－4＝0，（2）當(dāng)a＝0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)，單調(diào)減區(qū)間是(2，＋∞)；
當(dāng)0＜a＜時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)和(，＋∞)，減區(qū)間為(2，)；當(dāng)a＝時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)；當(dāng)a＞時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，)和(2，＋∞)，減區(qū)間為(，2)

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)集合意義，在處導(dǎo)數(shù)值等于該點處切線的斜率，因為，所以
f ′(1)＝2, 又切點為(1，－2)，所以所求切線方程為y＋2＝2(x－1)，（2）函數(shù)f(x)的單調(diào)性之所以要討論，就是由于導(dǎo)函數(shù)為零時根的不確定性.因為，所以當(dāng)a＝0時，方程在定義域內(nèi)只有一根；當(dāng)時，需討論兩根的大小，三種情況0＜a＜，a＝，及a＞需一一討論.解題過程中，最易忽視的是兩根相等的情況；答題時最易出錯的是將兩個單調(diào)性相同的不連續(xù)區(qū)間用“并集”“或”合并寫.
試題解析：解（1）當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2x＋4lnx，
從而，其中x＞0．                         2分
所以f′(1)＝2．
又切點為(1，－2)，
所以所求切線方程為y＋2＝2(x－1)，即2x－y－4＝0．      4分
（2）因為f(x)＝ax²－(4a＋2)x＋4lnx，
所以，其中x＞0．
①當(dāng)a＝0時，，x＞0．
由f′(x)＞0得，0＜x＜2，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)；單調(diào)減區(qū)間是(2，＋∞)；    6分
②當(dāng)0＜a＜時，因為＞2，由f ′(x)＞0，得x＜2或x＞．
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)和(，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(2，)；      8分
③當(dāng)a＝時，，且僅在x＝2時，f ′(x)＝0，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)；
④當(dāng)a＞時，因0＜＜2，由f ′(x)＞0，得0＜x＜或x＞2，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，)和(2，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(，2)．
綜上，
當(dāng)a＝0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)，單調(diào)減區(qū)間是(2，＋∞)；
當(dāng)0＜a＜時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，2)和(，＋∞)，減區(qū)間為(2，)；
當(dāng)a＝時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)；
當(dāng)a＞時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，)和(2，＋∞)，減區(qū)間為(，2)．   10分