Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣mx，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在兩個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣m，

若m≤0，則f′（x）＞0恒成立，

f（x）在R遞增，無遞減區(qū)間；

m＞0時，由f′（x）=0，得：x=lnm，

令f′（x）＞0，解得：x＞lnm，

令f′（x）＜0，解得：x＜lnm，

故f（x）在（﹣∞，lnm）遞減，在（lnm，+∞）遞增

（2）解：由g（x）=f（x）﹣lnx+x2=0，

得m= ，

令h（x）= ，

則h′（x）= ，

觀察得x=1時，h′（x）=0．

當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0，

當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＜0，

∴h（x）min=h（1）=e+1，

∴函數(shù)g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在兩個零點時，m的取值范圍是（e+1，+∞）

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由g（x）=f（x）﹣lnx+x2=0，分離出m，令h（x）= ，由此能求出函數(shù)g（x）=f（x）﹣lnx+x2存在兩個零點時m的取值范圍．
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．