Question

給出以下四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f(x)=

2x-1

x+1

的對稱中心是（-1，2）；
②若關(guān)于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）沒有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是k≥2；
③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件；
④若將函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，則φ的最小值是

π

12

；其中正確的結(jié)論是

①③④

．

Answer 1

分析：①將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù)形式，利用反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)可得此函數(shù)的對稱中心；②將問題轉(zhuǎn)化為y=

1

x

-x在x∈（0，1）上的圖象與y=k沒有交點(diǎn)問題，利用函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合即可得關(guān)于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）沒有實(shí)數(shù)根的充要條件；③其實(shí)若在△ABC中，bcosA=acosB，則sinBcosA-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，即A=B，故三角形定為等腰三角形，不一定為等邊三角形；④利用圖象變換的理論得平移后函數(shù)解析式，再利用函數(shù)圖象的對稱性即可得φ的最小值

解答：解：①函數(shù)f(x)=

2x-1

x+1

=

2(x+1)-3

x+1

=2-

3

x+1

，∵f（-1+x）+f（-1-x）=4，∴函數(shù)f(x)=

2x-1

x+1

的對稱中心是（-1，2），①正確；
②關(guān)于x的方程x-

1

x

+k=0在x∈（0，1）沒有實(shí)數(shù)根，即k=

1

x

-x在x∈（0，1）沒有實(shí)數(shù)根，即y=

1

x

-x在x∈（0，1）上的圖象與y=k沒有交點(diǎn)，
∵y=

1

x

-x在x∈（0，1）上為減函數(shù)，∴y＞1-1=0
∴k≤0，∴②錯(cuò)誤
③當(dāng)a=b=1，A=B=30°時(shí)，bcosA=acosB，但此三角形不是等邊三角形，故，“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的不充分條件；若三角形為等邊三角形，則a=b，A=B=60°，
bcosA=acosB，故，“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要條件，∴“bcosA=acosB”是“△ABC為等邊三角形”的必要不充分條件，③正確
④將函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位后的解析式為f（x）=sin（2x-2φ-

π

3

），由2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，（k∈Z），得φ=

1

2

kπ+

π

12

，∵φ＞0，∴φ的最小值是

π

12

；④正確
故答案為①③④

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合函數(shù)的對稱性，函數(shù)零點(diǎn)問題與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，三角變換公式及三角形形狀的判斷，圖象變換與函數(shù)圖象性質(zhì)等知識