Question

已知橢圓G：

x2

4

+y2=1，過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線L交橢圓G于A，B兩點．
（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率；
（2）求m的取值范圍；
（3）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合,兩點間的距離公式,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓G：

x2

4

+y2=1，可得a²=4，b²=1，利用c=

a2-b2

即可得出橢圓的焦點坐標為(±

3

，0)，e=

c

a

．．
（2）由題意可知：|m|≥1．當m≠±1時，設(shè)切線L的方程為：y=k（x-m）．利用直線L與圓x²+y²=1相切可得圓心（0，0）到直線的距離d=r，可得k²m²=1+k²．（*）直線L的方程與橢圓的方程聯(lián)立，化為（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，由于直線L與橢圓由兩個不同的交點，可得△＞0，即可得到m的取值范圍．
（3）當m±1時，直接得出|AB|．當m≠±1時，由（1）可得x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1x2=

4k2m2-4

1+4k2

．利用弦長公式|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）由橢圓G：

x2

4

+y2=1，可得a²=4，b²=1，∴c=

a2-b2

=

3

，∴橢圓的焦點坐標為(±

3

，0)，e=

c

a

=

3

2

．
（2）由題意可知：|m|≥1．
當m≠±1時，設(shè)切線L的方程為：y=k（x-m）．
∵直線L與圓x²+y²=1相切，∴圓心（0，0）到直線的距離d=r，∴

|km|

1+k2

=1，化為k²m²=1+k²．（*）
直線L的方程與橢圓的方程聯(lián)立

y=k(x-m) x2 4 +y2=1

，化為（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
∵直線L與橢圓由兩個不同的交點，∴△＞0，即64k⁴m²-16（1+4k²）（k²m²-1）＞0，
化為1+4k²＞k²m²，
把（*）代入上式可得1+

4

m2-1

＞

m2

m2-1

，化為m²-1＞0．解得m＞1或m＜-1．
當m=±1時，直接驗證滿足題意．
綜上可知：m的取值范圍為（-∞，-1]∪[1，+∞）．
（3）當m=1時，切線L的方程為x=1，聯(lián)立

x=1 x2 4 +y2=1

，解得

x=1 y=± 3 2

，|AB|=

3

．
同理m=-1時，|AB|=

3

．
當m≠±1時，由（2）可得x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1x2=

4k2m2-4

1+4k2

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2 ]

=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2．由基本不等式可知當且僅當m=±

3

時取等號．
綜上可知：|AB|的最大值為2．

點評：本題綜合考查了直線與圓相切、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力、計算能力，屬于難題．