Question

17．如圖，P是直線x=4上一動點(diǎn)，以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點(diǎn)B（1，0），直線l是圓Γ在點(diǎn)B處的切線，過A（-1，0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求證：|EA|+|EB|為定值；
（2）設(shè)直線l交直線x=4于點(diǎn)Q，證明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點(diǎn)為N，則EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|=$\sqrt{A{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{A{P}^{2}-P{B}^{2}}$=$\sqrt{A{N}^{2}-B{N}^{2}}$=4；
（2）確定E，F(xiàn)均在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，設(shè)直線EF的方程為x=my+1（m≠0），聯(lián)立，E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|等價(jià)于-y₁•$\frac{3}{m}$+y₁y₂=y₂•$\frac{3}{m}$-y₁y₂，利用韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）設(shè)AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點(diǎn)為N，則EM=EB，
∴|EA|+|EB|=|AM|=$\sqrt{A{P}^{2}-P{M}^{2}}$=$\sqrt{A{P}^{2}-P{B}^{2}}$=$\sqrt{A{N}^{2}-B{N}^{2}}$=4為定值；
（2）同理|FA|+|FB|=4，
∴E，F(xiàn)均在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
設(shè)直線EF的方程為x=my+1（m≠0），令x=4，y_Q=$\frac{3}{m}$，
直線與橢圓方程聯(lián)立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$
∵E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，
∴|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|等價(jià)于-y₁•$\frac{3}{m}$+y₁y₂=y₂•$\frac{3}{m}$-y₁y₂，
∴2y₁y₂=（y₁+y₂）•$\frac{3}{m}$，
代入y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$成立，
∴|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．