已知數(shù)列{an}的首項為1,前n項和為Sn,且滿足an+1=3Sn,n∈N*.數(shù)列{bn}滿足bn=log4an
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)當n≥2時,試比較b1+b2+…+bn
1
2
(n-1)2
的大小,并說明理由;
(3)試判斷:當n∈N*時,向量
a
=(an,bn)是否可能恰為直線l:y=
1
2
x+1
的方向向量?請說明你的理由.
分析:(1)由an+1=3Sn得an+2=3Sn+1兩者作差整理得
an+2
an+1
=4,n∈N*,要注意n=1時的情況,
(2)先由(1)求得bn再求b1+b2+…+bn,然后與
1
2
(n-1)2
比較;
(3)由直線l的方向向量為
d
=(2,1)
,若向量(an,bn)為該直線的方向向量,則有2bn=an研究.
解答:解:(1)由an+1=3Sn(1),得an+2=3Sn+1(2),由(2)-(1)得
an+2-an+1=3an+1,整理得
an+2
an+1
=4,n∈N*
所以,數(shù)列a2,a3,a4,,an,是以4為公比的等比數(shù)列.
其中,a2=3S1=3a1=3,
所以,an=
1n=1
3•4n-2n≥2,n∈N*

(2)由題意,bn=
0n=1
log43+(n-2)n≥2,n∈N*

當n≥2時,
b1+b2+b3++bn
=0+(log43+0)+(log43+1)++(log43+n-2)
=(n-1)log43+
1
2
(n-2)(n-1)

=
n-1
2
[2log43-1+(n-1)]

=
n-1
2
[log4
9
4
+(n-1)]>
(n-1)2
2

所以,b1+b2+b3++bn
(n-1)2
2

(3)由題意,直線l的方向向量為
d
=(2,1)
,假設向量(an,bn)恰為該直線的方向向量,
則有2bn=an,
當n=1時,a1=1,b1=0,向量
a
=(1,0)
不符合條件;
當n≥2時,由2bn=an?2[log43+(n-2)]=3•4n-2?log49=3•4n-2-2n+4,
而此時等式左邊的log49不是一個整數(shù),而等式右邊的3•4n-2-2n+4是一個整數(shù),故等式不可能成立.
所以,對任意的n∈N*
a
=不可能是直線l的方向向量.
點評:本題主要考查通項與前n項和間的關系,由已知數(shù)列構造新數(shù)列問題,特別要注意n=1和n≥2的討論.
練習冊系列答案
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已知數(shù)列{an}的首項a1=
1
2
,前n項和Sn=n2an(n≥1).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設b1=0,bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:Tn
n2
n+1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項為a1=2,前n項和為Sn,且對任意的n∈N*,當n≥2,時,an總是3Sn-4與2-
52
Sn-1
的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=(n+1)an,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,n∈N*,求Tn

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(2013•江門一模)已知數(shù)列{an}的首項a1=1,若?n∈N*,an•an+1=-2,則an=
1,n是正奇數(shù)
-2,n是正偶數(shù)
1,n是正奇數(shù)
-2,n是正偶數(shù)

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已知數(shù)列{an}的首項為a1=3,通項an與前n項和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1(n≥2).
(1)求證:數(shù)列{
1Sn
}
是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)求數(shù)列{an}中的最大項.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項a1=
2
3
,an+1=
2an
an+1
,n∈N+
(Ⅰ)設bn=
1
an
-1
證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)數(shù)列{
n
bn
}的前n項和Sn

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