Question

已知圓心（a，b）（a＜0，b＜0）在直線y=2x+1上的圓，若其圓心到x軸的距離恰好等于圓的半徑，在y軸上截得的弦長為，則圓的方程為（ ）
A．（x+2）²+（y+3）²=9
B．（x+3）²+（y+5）²=25
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據題意畫出圖形，過M作MA垂直于x軸，MB垂直于y軸，連接MC，由垂徑定理得到B為CD中點，由|CD|求出|BC|，由圓與x軸垂直得到圓與x軸相切，所以MA和MC為圓M的半徑，在直角三角形MBC中，由|MB|=|a|，|MC|=|MA|=|b|及|BC|，利用勾股定理列出關于a與b的方程，再把M的坐標代入到直線y=2x+1中，又得到關于a與b的另一個方程，聯立兩方程即可求出a與b的值，從而確定出圓心M的坐標，及圓的半徑，根據圓心坐標和半徑寫出圓的方程即可．
解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：
過M作MA⊥x軸，MB⊥y軸，連接MC，
由垂徑定理得到B為CD中點，又|CD|=2，
∴|CB|=，
由題意可知圓的半徑|MA|=|MC|=|b|，|MB|=|a|，
在直角三角形BC中，根據勾股定理得：b²=a²+（）²，①
又把圓心（a，b）代入y=2x+1中，得b=2a+1，②
聯立①②，解得：a=-2，b=-3，
所以圓心坐標為（-2，-3），半徑r=|-3|=3，
則所求圓的方程為：（x+2）²+（y+3）²=9．
故選A
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，垂徑定理及勾股定理．根據圓心到x軸的距離恰好等于圓的半徑得到所求的圓與x軸相切，進而求出圓的半徑為|b|是解本題的關鍵，同時運用了數形結合的思想解決數學問題，培養(yǎng)了學生發(fā)現問題，分析問題，解決問題的能力．