Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，點(diǎn)A是l₁，l₂上兩直線之間的動(dòng)點(diǎn)，且到l₁距離為4，到l₂距離為3，若與直線l₂交于點(diǎn)C，則△ABC面積的最小值為（ ）

A．3
B．6
C．12
D．18

Answer 1

【答案】分析：過A作直線l₁的垂線交點(diǎn)分別為E和F，由l₁∥l₂，得到直線EF也與l₂垂直，從而得到AE及AF的值，由兩向量的數(shù)量積積為0得到兩向量垂直，即AB與AC垂直，設(shè)∠FAC=θ，則有∠EAB=-θ，分別在直角三角形AEB和AFC中，由AE，AF，及設(shè)出的角度利用余弦函數(shù)定義表示出AB積AC，由三角形ABC為直角三角形，用直角邊AB與AC的乘積表示出三角形的面積，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到面積的最小值．
解答：
解：過A作l₁的垂線，與l₁，l₂分別交于點(diǎn)E和F，又l₁∥l₂，故直線EF也與l₂垂直，
則根據(jù)題意得AE=4，AF=3，
∵，∴AB⊥AC，即∠BAC=，
令∠FAC=θ，則∠EAB=-θ，
∴cosθ=，則AC=，
同理可得AB=，
∴S_△ABC=AB•AC===≥12，
則△ABC的面積最小值為12．
故選C
點(diǎn)評：此題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，銳角三角函數(shù)定義，正弦函數(shù)的定義域及值域，誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，過A作出已知直線的垂線EF是解本題的關(guān)鍵．