Question

（1）求證，若方程x³+ax²+bx+c=0的三根可排成等比數(shù)列，則a³c=b³．
（2）已知方程x³+7x²-21x-27=0的三根可以排成等比數(shù)列，求三根．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出原方程的三根，根據(jù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到三根的三個(gè)關(guān)系式，又三根可排成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到中間的一根的平方等于其他兩根的積即β²=αγ，要證a³c=b³即要證(

b

a

)3=c，把a(bǔ)與b代入等號的左邊，化簡后得到c，得證；
（2）根據(jù)（1）可知β³=-c，又由方程得到c=-27，進(jìn)而求出β的值，由三根之和等于-7，得到其他兩根之和，記作①，由三根成等比數(shù)列得到β²=αγ，將β的值代入即可求出其他兩根之積，記作②，聯(lián)立①②即可求出其他的兩個(gè)根，依次寫出三根即可．

解答：解：（1）設(shè)α，β，γ是方程x³+ax²+bx+c=0的三根，
由根與系數(shù)關(guān)系可知：α+β+γ=-a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=-c，
又因α，β，γ排成等比數(shù)列，于是β²=αγ．
則(

b

a

)3=[

αβ+βγ+γα

-(α+β+γ)

]3=-[

(α+γ)β+β2

α+β+γ

]3
=-[

(α+β+γ)β

α+β+γ

]3=-β³=-αβγ=c
即a³c=b³，得證；
（2）解：由（1）可知β³=-c，∴β³=27，
∴β=3．代入α+β+γ=-7
可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比數(shù)列，∴β²=αγ，
即αγ=9，故可得方程組：

α+γ=-10 αγ=9

解之，可得α=-9或-1，γ=-1或-9．
于是，所求之三根為-9，3，-1或-1，3，-9．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握一元n次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道中檔題．