Question

已知sinα+cosα=

3 5

5

，α∈（0，

π

4

），sin（β-

π

4

）=

3

5

，β∈（

π

4

，

π

2

）．
（1）求sin2α和tan2α的值；
（2）求cos（α+2β）的值．

Answer 1

分析：（1）把已知條件兩邊平方，然后利用同角三角函數(shù)間的關系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡可得sin2α的值，根據(jù)2α的范圍利用同角三角函數(shù)間的關系求出cos2α即可得到tan2α的值；
（2）根據(jù)β的范圍求出β-

π

4

的范圍，由sin（β-

π

4

）的值利用同角三角函數(shù)間的關系求出cos（β-

π

4

）的值，然后利用二倍角的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的關系分別求出sin2β和cos2β的值，根據(jù)第一問分別求出sinα和cosα的值，把所求的式子利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡后，將每個三角函數(shù)值代入即可求出．

解答：解：（1）由題意得（sinα+cosα）²=

9

5

，
即1+sin2α=

9

5

，∴sin2α=

4

5

．
又2α∈（0，

π

2

），∴cos2α=

1-sin22α

=

3

5

，∴tan2α=

sin2α

cos2α

=

4

3

．
（2）∵β∈（

π

4

，

π

2

），β-

π

4

∈（0，

π

4

），∴cos（β-

π

4

）=

4

5

，
于是sin2（β-

π

4

）=2sin（β-

π

4

）cos（β-

π

4

）=

24

25

．
又sin2（β-

π

4

）=-cos2β，∴cos2β=-

24

25

．
又2β∈（

π

2

，π），∴sin2β=

7

25

．
又cos²α=

1+cos2α

2

=

4

5

，
∴cosα=

2

5

，sinα=

1

5

（α∈（0，

π

4

））．
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β
=

2 5

5

×（-

24

25

）-

5

5

×

7

25

=-

11 5

25

．

點評：此題考查學生靈活運用二倍角的正弦函數(shù)公式、同角三角函數(shù)間的基本關系及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡求值，是一道綜合題．做題時學生應注意角度的范圍．