Question

已知數(shù)列和滿足：, 其中為實數(shù)，為正整數(shù)．

（Ⅰ）對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）對于給定的實數(shù)，試求數(shù)列的前項和；

（Ⅲ）設(shè)，是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有成立? 若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）存在實數(shù)，的取值范圍是

【解析】(1)假設(shè)存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，由題意知，矛盾，所以不是等比數(shù)列.

(2)由題設(shè)條件知，故當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.

(3)由題設(shè)條件得，由此入手能夠推出存在實數(shù)，使得任意正整數(shù)n,都有 ,的取值范圍為.

解：（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使｛｝是等比數(shù)列，

則有,

即矛盾．

所以｛｝不是等比數(shù)列．   ………………………4分

（Ⅱ）因為

又，所以

當(dāng)，，此時

當(dāng)時，， ，

此時，數(shù)列｛｝是以為首項，為公比的等比數(shù)列．

∴   ……………………8分

（Ⅲ）要使對任意正整數(shù)成立，

即

當(dāng)為正奇數(shù)時，

∴的最大值為, 的最小值為,

于是，由（1）式得

當(dāng)時，由，不存在實數(shù)滿足題目要求；

當(dāng)存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有,且的取值范圍是…………………………12分