Question

已知(2x-

1

x

)n展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和比（2x+x^lgx）²ⁿ展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和小112，且第二個(gè)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)等于1120，求第二個(gè)式子中x的值．

Answer 1

分析：令t=2ⁿ＞0，依題意，

1

2

t²-t-112=0，從而可求得t及n的值，于是，可得第二個(gè)式子為：（2x+x^lgx）⁸，依題意，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求得x^4+4lgx=1，兩邊取常用對(duì)數(shù)，即可求得lgx的值，繼而可得x的值．

解答：解：令t=2ⁿ＞0，則

1

2

t²-t-112=0…3′
解得：t=16或t=-14（舍去），
∴2ⁿ=16⇒n=4…5′
于是，第二個(gè)式子為：（2x+x^lgx）⁸…7′
由題意得：T₅=

C

4 8

（2x）⁴（x^lgx）⁴
=1120x^4+4lgx=1120，
∴x^4+4lgx=1…9′
兩邊取常用對(duì)數(shù)，變形整理得：4lg²x+4lgx=0…10′
∴l(xiāng)gx=0或-1，
∴第二個(gè)式子中x的值為1或

1

10

…12′

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，令t=2ⁿ＞0，依題意，

1

2

t²-t-112=0是關(guān)鍵，突出考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于難題．