精英家教網已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足|
F1Q
|=2a．點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足
PT
•
TF2
=0，|
TF2
|≠0．
（Ⅰ）設x為點P的橫坐標，證明|
F1P
|=a+
c
a
x；
（Ⅱ）求點T的軌跡C的方程；
（Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=b2．若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由．
      <noscript id="fyezz"></noscript>
      分析：（Ⅰ）證法一：設點P的坐標為（x，y），
      由題設條件知|
      F1P
      |=
      		(x+c)2+y2
      =
      		(x+c)2+b2-
      b2
      a2
      x2
      =
      		(a+
      c
      a
      x)      2
      ，
      由此能夠推導出|
      F1P
      |=a+
      c
      a
      x．

      證法二：設點P的坐標為（x，y）．記|
      F1P
      |=r1，|
      F2P
      |=r2，
      由r1+r2=2a，r12+r22=4cx，能夠推導出|
      F1P
      |=r1=a+
      c
      a
      x．
      證法三：設點P的坐標為（x，y）．橢圓的左準線方程為a+
      c
      a
      x=0，
      由橢圓第二定義得
      |
      F1P
      |
      |x+
      a2
      c
      |
      =
      c
      a
      ，由此入手推導出|
      F1P
      |=a+
      c
      a
      x．

      （Ⅱ）解法一：設點T的坐標為（x，y）．當|
      PT
      |=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上．
      當|
      PT
      |≠0且|
      TF2
      |≠0      時，由題設條件知T為線段F2Q的中點．
      在△QF1F2中，|
      OT
      |=
      1
      2
      |
      F1Q
      |=a      ，由此求出點T的軌跡C的方程．
      解法二：在推導出T為線段F2Q的中點的基礎上，設點Q的坐標為（x'，y'），
      由中點坐標公式和|
      F1Q
      |=2a推導出點T的軌跡C的方程．
      （Ⅲ）解法一：C上存在點M（x0，y0）使S=b2的充要條件是
      x
      2
      0
      +
      y
      2
      0
      =a2③
      1
      2
      •2c|y0|=b2．④

      由③得|y0|≤a，由④得|y0|≤
      b2
      c
      ．再分類討論進行求解．
      解法二：C上存在點M（x0，y0）使S=b2的充要條件是
      x
      2
      0
      +
      y
      2
      0
      =a2③
      1
      2
      •2c|y0|=b2．④

      由④得|y0|≤
      b2
      c
      ．上式代入③得x02=a2-
      b4
      c2
      =（a-
      b2
      c
      ）（a+
      b2
      c
      ）≥0．再分類討論進行求解．
      解答：精英家教網（Ⅰ）證法一：設點P的坐標為（x，y）．
      由P（x，y）在橢圓上，得|
      F1P
      |=
      		(x+c)2+y2
      =
      		(x+c)2+b2-
      b2
      a2
      x2
      =
      		(a+
      c
      a
      x)      2

      由x≥a，知a+
      c
      a
      x≥-c+a＞0，所以|
      F1P
      |=a+
      c
      a
      x
      證法二：設點P的坐標為（x，y）．記|
      F1P
      |=r1，|
      F2P
      |=r2，
      則r1=
      		(x+c)2+y2
      ，r2=
      		(x+c)2+y2
      ．
      由r1+r2=2a，r12+r22=4cx，得|
      F1P
      |=r1=a+
      c
      a
      x．
      證法三：設點P的坐標為（x，y）．橢圓的左準線方程為a+
      c
      a
      x=0
      由橢圓第二定義得
      |
      F1P
      |
      |x+
      a2
      c
      |
      =
      c
      a
      ，即||
      F1P
      =
      c
      a
      |x+
      a2
      c
      |=|a+
      c
      a
      x|．
      由x≥-a，知a+
      c
      a
      x≥-c+a＞0，所以|
      F1P
      |=a+
      c
      a
      x．
      （Ⅱ）解法一：設點T的坐標為（x，y）．
      當|
      PT
      |=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上．
      當|
      PT
      |≠0且|
      TF2
      |≠0      時，由|
      PT
      |•|
      TF2
      |=0      ，得
      PT
      ⊥
      TF2
      ．
      又|
      PQ
      |=|
      PF2
      |      ，所以T為線段F2Q的中點．
      在△QF1F2中，|
      OT
      |=
      1
      2
      |
      F1Q
      |=a      ，所以有x2+y2=a2．
      綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2+y2=a2．
      解法二：設點T的坐標為（x，y）．當|
      PT
      |=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡上．
      當|
      PT
      |≠0且|
      TF2
      |≠0，時，由
      PT
      •
      TF2
      =0，得
      PT
      ⊥
      TF2
      ．
      又，|
      TF2
      ||
      PQ
      |=|
      PF2
      |      ，所以T為線段F2Q的中點．
      設點Q的坐標為（x'，y'），則
      x=
      x′+c
      2
      y=
      y′
      2
      .

      因此
      x′=2x-c
      y′=2y.
      ①
      由|
      F1Q
      |=2a得（x'+c）2+y'2=4a2．②
      將①代入②，可得x2+y2=a2．
      綜上所述，點T的軌跡C的方程是x2+y2=a2．
      （Ⅲ）解法一：C上存在點M（x0，y0）使S=b2的充要條件是
      x
      2
      0
      +
      y
      2
      0
      =a2③
      1
      2
      •2c|y0|=b2．④

      由③得|y0|≤a，由④得|y0|≤
      b2
      c
      ．所以，當a≥
      b2
      c
      時，存在點M，使S=b2；
      當a＜
      b2
      c
      時，不存在滿足條件的點M．
      當a≥
      b2
      c
      時，
      MF1
      =（-c-x0，-y0），
      MF2
      =（c-x0，-y0），
      由
      MF1
      •
      MF2
      =x02-c2+y02=a2-c2=b2，
      MF1
      •
      MF2
      =|
      MF1
      |•|
      MF2
      |=cos∠F1MF2，
      S=
      1
      2
      MF1
      •
      MF2
      sin∠F1MF2=b2，得tan∠F1MF2=2．
      解法二：C上存在點M（x0，y0）使S=b2的充要條件是
      x
      2
      0
      +
      y
      2
      0
      =a2③
      1
      2
      •2c|y0|=b2．④

      由④得|y0|≤
      練習冊系列答案
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      科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

      已知橢圓
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)      的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
      1
      2

      （Ⅰ）求橢圓的標準方程，
      （Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
      PF1
      •
      PA
      的取值范圍
      （III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
      AH
      2      =
      MH
      •
      HN
      ，求證：直線l恒過定點．

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      科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

      已知橢圓
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
      （1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
      （2）求k1：k2的值．

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      科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

      已知橢圓
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)      的離心率是
      		3
      2
      ，且經過點M（2，1），直線y=
      1
      2
      x+m(m＜0)      與橢圓相交于A，B兩點．
      （1）求橢圓的方程；
      （2）當m=-1時，求△MAB的面積；
      （3）求△MAB的內心的橫坐標．

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      科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

      （2013•威海二模）已知橢圓
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)      的離心率為e=
      		6
      3
      ，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
      2
      		6
      3
      +2      ．
      （Ⅰ）求橢圓的標準方程；
      （Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
      ND
      •
      MP
      AB
      2
      為定值．

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      科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

      已知橢圓
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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