Question

如圖，在三棱錐A－BCD中，面ABC⊥面BCD，△ABC是正三角形，∠BCD＝90°，∠CBD＝30°．

(Ⅰ)求證：AB⊥CD；

(Ⅱ)求二面角D―AB―C的大�。�

(Ⅲ)求異面直線AC與BD所成角的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)證明：∵面ABC⊥面BCD，∠BCD＝90°，且面ABC∩面BCD＝BC， 　　∴CD⊥面ABC　　2分 　　又∵AB面ABC， 　　∴DC⊥AB　　4分 　　(Ⅱ)解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，連結(jié)DM． 　　由(Ⅰ)知CD⊥面ABC． 　　∴CM是斜線DM在平面ABC內(nèi)的射影， 　　∴DM⊥AB．(三垂線定理) 　　∴∠DMD是二面角D―AB―C的平面角　　6分 　　設(shè)CD＝1，由∠BCD＝90°，∠CBD＝30°得． 　　∵△ABC是正三角形， 　　 　　∴二面角D―AB―C的大小為　　9分 　　(Ⅲ)解：如圖，取三邊AB、AD、BC的中點(diǎn)M、N、O， 　　連結(jié)AO、MO、NO、MN、OD， 　　則OM∥AC，． 　　∴∠OMN是異面直線AC與BD所成的角或其補(bǔ)角　　11分 　　∵△ABC是正三角形，且平面ABC⊥平面BCD， 　　∴AO⊥面BCD，△AOD是直角三角形，． 　　 　　解法二： 　　(Ⅰ)分別取BC、BD的中點(diǎn)O、M，連結(jié)AO、OM． 　　∵△ABC是正三角形， 　　∴AO⊥BC． 　　∵面ABC⊥面BCD，且面ABC∩面BCD＝BC， 　　∴AO⊥平面BCD． 　　∵OM是△BCD的中位線，且CD⊥平面ABC， 　　∴OM⊥平面ABC． 　　以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系　　2分